数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第n項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第n項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、第k項を求める。第k項は、初項1、公比2、項数kの等比数列の和である。

したがって、第k項 $a_k$ は、等比数列の和の公式より、

$$a_k = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$$

求める和を $S_n$ とすると、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ は、初項2、公比2、項数nの等比数列の和なので、

$$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} - n - 2$