関数 $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ が与えられている。ここで、$a$ は定数である。 (1) $t = x^2 + 2x + 2$ とするとき、$x$ がすべての実数値をとり変化するとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $f(x)$ の最小値 $n$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ が与えられている。ここで、$a$ は定数である。

(1) $t = x^2 + 2x + 2$ とするとき、$x$ がすべての実数値をとり変化するとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $f(x)$ の最小値 $n$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2 + 2x + 2$ について、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$ と変形できる。

$x$ がすべての実数値をとりうるので、$(x+1)^2 \ge 0$ である。

したがって、$t = (x+1)^2 + 1 \ge 1$ となる。

よって、$t$ のとりうる値の範囲は $t \ge 1$ である。

(2) $f(x)$ の最小値 $n$ を $a$ を用いて表す。

$f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ で、$t = x^2 + 2x + 2$ とおくと、

$f(x) = t^2 - 2at + a$ となる。

$f(x) = t^2 - 2at + a = (t-a)^2 - a^2 + a$ と変形できる。

$t \ge 1$ であり、$f(x)$ の最小値を考える。

(i) $a \le 1$ のとき、$t \ge 1$ より、$t=1$ で最小値をとる。

$n = (1-a)^2 - a^2 + a = 1 - 2a + a^2 - a^2 + a = 1 - a$

(ii) $a > 1$ のとき、$t \ge 1$ より、$t=a$ で最小値をとる。

$n = (a-a)^2 - a^2 + a = -a^2 + a$

したがって、

$n = \begin{cases} 1-a & (a \le 1) \\ -a^2+a & (a>1) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $t \ge 1$

(2) $n = \begin{cases} 1-a & (a \le 1) \\ -a^2+a & (a>1) \end{cases}$