与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、次の2つの式を因数分解します。 (1) $(x-2)^2 + 6(x-2) + 9$ (2) $x^4 - 2x^2 + 1$ 画像には37 (1) $(x-y)^2+13(x-y)+42$と(2) $x^4-1$も解く過程が書かれています。

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、次の2つの式を因数分解します。

(1) $(x-2)^2 + 6(x-2) + 9$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$

画像には37 (1) $(x-y)^2+13(x-y)+42$と(2) $x^4-1$も解く過程が書かれています。

2. 解き方の手順

(1) $(x-2)^2 + 6(x-2) + 9$ の場合:

$A = x-2$ と置くと、与えられた式は $A^2 + 6A + 9$ となります。

これは完全平方の形なので、$(A+3)^2$ と因数分解できます。

$A$ を $x-2$ に戻すと、$(x-2+3)^2 = (x+1)^2$ となります。

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$ の場合:

$A = x^2$ と置くと、与えられた式は $A^2 - 2A + 1$ となります。

これは完全平方の形なので、$(A-1)^2$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2-1)^2$ となります。

$x^2-1$ は $(x-1)(x+1)$ と因数分解できるので、$(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 = (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)$となります。

または、(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

(3) (画像に書かれている問題) $(x-y)^2 + 13(x-y) + 42$ の場合:

$A = x-y$ と置くと、与えられた式は $A^2 + 13A + 42$ となります。

これは $(A+6)(A+7)$ と因数分解できます。

$A$ を $x-y$ に戻すと、$(x-y+6)(x-y+7)$ となります。

(4) (画像に書かれている問題) $x^4 - 1$ の場合:

$A = x^2$ と置くと、与えられた式は $A^2 - 1$ となります。

これは $(A-1)(A+1)$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2-1)(x^2+1)$ となります。

$x^2-1$ は $(x-1)(x+1)$ と因数分解できるので、$(x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^2$

(2) $(x-1)^2(x+1)^2=(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)$

(3) $(x-y+6)(x-y+7)$

(4) $(x-1)(x+1)(x^2+1)$