(1) 絶対値のついた方程式 $|x-4| = 3x$ を解く。 (2) 絶対値のついた不等式 $|x-4| \le 3x$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 絶対値のついた方程式 $|x-4| = 3x$ を解く。

(2) 絶対値のついた不等式 $|x-4| \le 3x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|x-4| = 3x$

絶対値記号の中身の正負で場合分けをする。

i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき、 $|x-4| = x-4$ なので、

$x-4 = 3x$

$-2x = 4$

$x = -2$

これは $x \ge 4$ を満たさないので、解ではない。

ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、 $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、

$4-x = 3x$

$4x = 4$

$x = 1$

これは $x < 4$ を満たすので、解である。

(2) $|x-4| \le 3x$

絶対値記号の中身の正負で場合分けをする。

i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき、 $|x-4| = x-4$ なので、

$x-4 \le 3x$

$-2x \le 4$

$x \ge -2$

$x \ge 4$ と $x \ge -2$ の共通範囲は $x \ge 4$ 。

ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、 $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、

$4-x \le 3x$

$4 \le 4x$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$ 。

i), ii) を合わせて、$x \ge 4$ または $1 \le x < 4$ 。

よって、$x \ge 1$ 。

さらに、$3x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$ でなければならない。

$x \ge 1$ は $x \ge 0$ を満たすので、$x \ge 1$ が解となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x \ge 1$