$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と $y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $x+y$ と $xy$ (2) $x^2 + y^2$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と $y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $x+y$ と $xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化します。問題文中に答えが書いてありますが、確認のため計算します。

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

$y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$

(1) $x+y$ と $xy$ を計算します。

$x+y = (4 - \sqrt{15}) + (4 + \sqrt{15}) = 8$

$xy = (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 16 - 15 = 1$

(2) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ という公式を利用します。

$x^2 + y^2 = (8)^2 - 2(1) = 64 - 2 = 62$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を計算します。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ という公式を利用します。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{62}{1} = 62$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 8$, $xy = 1$

(2) $x^2 + y^2 = 62$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 62$