与えられた式 $x^2 + 2ax - 8a - 16$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2ax - 8a - 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$x$ についての二次式として考えると、定数項は $-8a-16 = -8(a+2)$ です。

この式が因数分解できるためには、$(x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB$ となる $A$ と $B$ を見つける必要があります。

ここで、$A+B=2a$ かつ $AB=-8(a+2)$ となるような $A$ と $B$ を探します。

$AB = -8(a+2)$ より、$A = a+4$、$B = -a-4+2a = a-4$ とおくと、$(a+4)(-a-4) = -(a+4)^2$ となり、合わない。

別の方法を試します。

$x^2 + 2ax - 8a - 16 = x^2 + 2ax + a^2 - a^2 - 8a - 16 = (x+a)^2 - (a^2 + 8a + 16) = (x+a)^2 - (a+4)^2$.

これは平方の差の形をしているので、 $(A^2 - B^2) = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

ここで、$A = x+a$、$B = a+4$ とすると、

$(x+a + a+4)(x+a - (a+4)) = (x+2a+4)(x-4)$

3. 最終的な答え

$(x+2a+4)(x-4)$