(1) $x$ についての不等式 $3(x-2) < 8-4x$ と $2x+a \geq x+4$ がある。これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど7個であるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 次の不等式を満たす整数 $x$ が5個になるように、$a$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (i) $a \leq x \leq 1$ (ii) $a < x \leq 1$ (iii) $a < x < 1$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての不等式 $3(x-2) < 8-4x$ と $2x+a \geq x+4$ がある。これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど7個であるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 次の不等式を満たす整数 $x$ が5個になるように、$a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(i) $a \leq x \leq 1$

(ii) $a < x \leq 1$

(iii) $a < x < 1$

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた不等式をそれぞれ解きます。

$3(x-2) < 8-4x$ より、

$3x - 6 < 8 - 4x$

$7x < 14$

$x < 2$

$2x+a \geq x+4$ より、

$x \geq 4-a$

したがって、$4-a \leq x < 2$ を満たす整数 $x$ が7個存在することになります。

整数 $x$ が7個であるためには、$4-a$ は整数でなくてもよいですが、$x$ の範囲を考えると、$4-a$ は$-3$ より小さく $-4$ より大きくなくてはなりません。つまり、

$-3 \leq 4-a < -2$

これを解くと、

$-7 \leq -a < -6$

$6 < a \leq 7$

(2)

(i) $a \leq x \leq 1$ を満たす整数 $x$ が5個であるためには、

$x = 1, 0, -1, -2, -3$ となる必要があります。

したがって、$a \leq -3$ かつ $a > -4$ である必要があります。

$-4 < a \leq -3$

(ii) $a < x \leq 1$ を満たす整数 $x$ が5個であるためには、

$x = 1, 0, -1, -2, -3$ となる必要があります。

したがって、$a < -3$ かつ $a \geq -4$ である必要があります。

$-4 \leq a < -3$

(iii) $a < x < 1$ を満たす整数 $x$ が5個であるためには、

$x = 0, -1, -2, -3, -4$ となる必要があります。

したがって、$a < -4$ かつ $a \geq -5$ である必要があります。

$-5 \leq a < -4$

3. 最終的な答え

(1) $6 < a \leq 7$

(2) (i) $-4 < a \leq -3$

(ii) $-4 \leq a < -3$

(iii) $-5 \leq a < -4$