$(a-2b)^4$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(a-2b)^4$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開する。二項定理は以下の通り。

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

今回の問題では、$x=a$, $y=-2b$, $n=4$ である。

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

$\binom{4}{3} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

したがって、

$(a-2b)^4 = \binom{4}{0} a^4 (-2b)^0 + \binom{4}{1} a^3 (-2b)^1 + \binom{4}{2} a^2 (-2b)^2 + \binom{4}{3} a^1 (-2b)^3 + \binom{4}{4} a^0 (-2b)^4$

$= 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot (-2b) + 6 \cdot a^2 \cdot (4b^2) + 4 \cdot a \cdot (-8b^3) + 1 \cdot 1 \cdot (16b^4)$

$= a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$