次の3つの方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

次の3つの方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

(i) $x-3 \ge 0$、つまり $x \ge 3$ のとき:

$x-3 = 2x$

$-x = 3$

$x = -3$

これは $x \ge 3$ を満たさないので不適。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき:

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3x = 3$

$x = 1$

これは $x < 3$ を満たし、また、$2x = 2 > 0$ であるから、条件を満たす。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

(i) $x-4 \ge 0$、つまり $x \ge 4$ のとき:

$x-4 \le 2x+1$

$-x \le 5$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $x \ge 4$。

(ii) $x-4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき:

$-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$-3x \le -3$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$。

(i)と(ii)を合わせて、$x \ge 1$。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

(i) $x+1 \ge 0$、つまり $x \ge -1$ のとき:

$x+1 > 5x$

$-4x > -1$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$。

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき:

$-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-6x > 1$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$。

(i)と(ii)を合わせて、$x < \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$