母平均が120、母標準偏差が5の十分大きい母集団から、大きさ25の標本を抽出したとき、その標本平均$\bar{X}$の期待値$E(\bar{X})$と標準偏差$\sigma(\bar{X})$を求めよ。

1. 問題の内容

母平均が120、母標準偏差が5の十分大きい母集団から、大きさ25の標本を抽出したとき、その標本平均$\bar{X}$の期待値$E(\bar{X})$と標準偏差$\sigma(\bar{X})$を求めよ。

2. 解き方の手順

標本平均の期待値$E(\bar{X})$は、母平均$\mu$に等しい。

$E(\bar{X}) = \mu$

標本平均の標準偏差$\sigma(\bar{X})$は、母標準偏差$\sigma$を標本サイズ$n$の平方根で割ったものに等しい。

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

この問題では、$\mu = 120$, $\sigma = 5$, $n = 25$ である。

まず、$E(\bar{X})$を計算する。

$E(\bar{X}) = \mu = 120$

次に、$\sigma(\bar{X})$を計算する。

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

3. 最終的な答え

標本平均の期待値は120、標準偏差は1である。

$E(\bar{X}) = 120$

$\sigma(\bar{X}) = 1$