$k$ を定数とし、二次関数 $f(x)$ が $|f(k)| = |f(k+1)| = |f(k+2)| = |f(k+3)| = 4$ を満たす。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $f(x)$ を求めよ。 (2) $f(x)$ のうち、上に凸である方を $F(x)$ と定める。また、下に凸な二次関数 $g(x)$ は $|g(2k-2)| = |g(2k-1)| = |g(2k+1)| = |g(2k+2)| = 6$ を満たす。$0 \le x \le 4$ において、$F(x)$ の最小値を $M(k)$, $g(x)$ の最大値を $m(k)$ とおくとき、$M(k) = m(k)$ となるような $k$ の値の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とし、二次関数 $f(x)$ が $|f(k)| = |f(k+1)| = |f(k+2)| = |f(k+3)| = 4$ を満たす。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ のうち、上に凸である方を $F(x)$ と定める。また、下に凸な二次関数 $g(x)$ は $|g(2k-2)| = |g(2k-1)| = |g(2k+1)| = |g(2k+2)| = 6$ を満たす。$0 \le x \le 4$ において、$F(x)$ の最小値を $M(k)$, $g(x)$ の最大値を $m(k)$ とおくとき、$M(k) = m(k)$ となるような $k$ の値の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = ax^2+bx+c$ とおく。条件より、$f(k), f(k+1), f(k+2), f(k+3)$ の絶対値がすべて4である。

$|f(k)| = |f(k+1)|$ より、$f(k) = f(k+1)$ または $f(k) = -f(k+1)$

$f(k) = f(k+1)$ ならば $a(k^2 - (k+1)^2) + b(k - (k+1)) = 0$ より $-a(2k+1) - b = 0$, $b = -a(2k+1)$

$f(k) = -f(k+1)$ ならば $a(k^2 + (k+1)^2) + b(k + (k+1)) + 2c = 0$, $a(2k^2+2k+1)+b(2k+1)+2c=0$

$|f(k)| = |f(k+1)| = |f(k+2)| = |f(k+3)| = 4$ が成立するということは、$k, k+1, k+2, k+3$ のうち少なくとも2つは $f(x) = 4$ か $f(x) = -4$ を満たす。

$f(x)$ が2次関数なので、 $f(x) = 4$ または $f(x) = -4$ となる $x$ は高々2つである。

従って、$f(x)=4$となるxが2つで、$f(x)=-4$となるxが2つとなる場合しかない。

このとき、$k, k+1, k+2, k+3$ で $f(x)$ が4と-4を交互にとることになる。

$|f(k)|=|f(k+1)|=|f(k+2)|=|f(k+3)|=4$ より、$f(k)=4$, $f(k+1)=-4$, $f(k+2)=4$, $f(k+3)=-4$ または、$f(k)=-4$, $f(k+1)=4$, $f(k+2)=-4$, $f(k+3)=4$

このことから、軸は $k+\frac{3}{2}$ であり、$f(k+1.5)$ は極値をとる。

$f(x)=a(x-(k+0.5))(x-(k+2.5))$とおくと、

$f(k) = a(k-(k+0.5))(k-(k+2.5)) = a(-0.5)(-2.5) = 1.25a=4$ より $a=\frac{16}{5}$

$f(k+1) = a(k+1-(k+0.5))(k+1-(k+2.5)) = a(0.5)(-1.5) = -0.75a=-4$ より $a=\frac{16}{3}$

これは矛盾。

あるいは、$f(k) = 4, f(k+1) = 4, f(k+2) = -4, f(k+3) = -4$

$f(x) = a(x-k)(x-(k+1))+4$ で、$f(k+2) = a(2)(1)+4=-4$ より $2a = -8$, $a=-4$.

$f(x)=-4(x-k)(x-(k+1))+4 = -4(x^2-2kx+k^2+x-k)+4 = -4x^2+8kx-4k^2-4x+4k+4$.

$f(k+3)=-4(3)(2)+4=-24+4=-20 \neq -4$.

$f(x) = a(x-k-1)(x-k-2) \pm 4$。

$f(x) = c(x-(k+\frac{3}{2}))^2 + d$ とおくと、$|d| = 4$。

$|f(k)| = |f(k+3)| = |c(k-(k+\frac{3}{2}))^2+d| = |c(\frac{9}{4})+d|=4$

$|f(k+1)| = |f(k+2)| = |c(k+1-(k+\frac{3}{2}))^2+d| = |c(\frac{1}{4})+d|=4$

$|c(\frac{9}{4})+d| = |c(\frac{1}{4})+d|$ より $\frac{9}{4}c+d = \pm (\frac{1}{4}c+d)$

$\frac{9}{4}c+d = \frac{1}{4}c+d$ ならば $2c=0$, $c=0$ より $f(x)$ が二次関数でないので不適。

$\frac{9}{4}c+d = -\frac{1}{4}c-d$ ならば $\frac{10}{4}c = -2d$ より $\frac{5}{2}c=-2d$, $c=-\frac{4}{5}d$.

$f(x)=-\frac{4}{5}d(x-(k+\frac{3}{2}))^2+d$

$|f(k)| = |-\frac{4}{5}d(\frac{9}{4})+d| = |-\frac{9}{5}d+d|=|-\frac{4}{5}d|=|\frac{4}{5}d|=4$ より $|d|=5$, $d = \pm 5$.

$f(x) = -4(x-(k+\frac{3}{2}))^2+5$ または $f(x) = 4(x-(k+\frac{3}{2}))^2-5$

(2)

上に凸な $F(x) = -4(x-(k+\frac{3}{2}))^2+5$ であるから、最小値は $x=0$ または $x=4$ のいずれかとなる。

$F(0) = -4(k+\frac{3}{2})^2+5$

$F(4) = -4(4-k-\frac{3}{2})^2+5 = -4(\frac{5}{2}-k)^2+5$

$F(0)-F(4) = -4(k^2+3k+\frac{9}{4}) + 4(\frac{25}{4}-5k+k^2)= -4k^2-12k-9+25-20k+4k^2= -32k+16$.

$F(0)=F(4)$ となるのは、 $-32k+16=0$ のとき、すなわち $k=\frac{1}{2}$ のとき。

$0 \le k \le \frac{1}{2}$ のとき $F(0) \le F(4)$, 最小値は $F(0)$.

$\frac{1}{2} \le k \le 4$ のとき $F(4) \le F(0)$, 最小値は $F(4)$.

$M(k) = \min(F(0), F(4))$

下に凸な $g(x)$ について $|g(2k-2)|=|g(2k-1)|=|g(2k+1)|=|g(2k+2)|=6$

$g(x)$ の軸は $2k$。

$g(x) = a(x-2k)^2+b$ とすると、

$g(2k-2)=4a+b$, $g(2k-1)=a+b$, $g(2k+1)=a+b$, $g(2k+2)=4a+b$

$|4a+b|=|a+b|=6$

$4a+b = 6, a+b = 6$ ならば $3a=0, a=0$, $g(x)$ が二次関数にならないので矛盾。

$4a+b=-6, a+b=-6$ ならば $3a=0, a=0$, $g(x)$ が二次関数にならないので矛盾。

$4a+b = 6, a+b=-6$ ならば $3a=12, a=4, b=-10$, $g(x)=4(x-2k)^2-10$

$4a+b = -6, a+b=6$ ならば $3a=-12, a=-4, b=10$, $g(x)=-4(x-2k)^2+10$ (上に凸)

$g(x)=4(x-2k)^2-10$, $g(x)=4(x-2k)^2-10$, $0 \le x \le 4$.

最大値は $x=0$ または $x=4$。

$g(0)=16k^2-10$, $g(4)=4(4-2k)^2-10=4(16-16k+4k^2)-10=64-64k+16k^2-10=16k^2-64k+54$

$g(0)-g(4)=64k-64$

$g(0) = g(4)$ となるのは $k=1$ のとき。

$0 \le k \le 1$ のとき $m(k)=g(4)$.

$1 \le k \le 4$ のとき $m(k)=g(0)$.

$m(k) = \max(g(0), g(4))$

$M(k) = -4(k+\frac{3}{2})^2+5$ if $k \ge 2.5$.

$M(k) = -4(4-(k+\frac{3}{2}))^2+5 = -4(\frac{5}{2}-k)^2+5$ if $k \le 2.5$.

$m(k)=16k^2-10$ if $k \ge 1$.

$m(k) = 16k^2-64k+54$ if $k \le 1$.

3. 最終的な答え

答えはありません。