放物線 $y = -x^2$ と直線 $x + ay = 2$ が共有点を持たないような、$a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2$ と直線 $x + ay = 2$ が共有点を持たないような、$a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線の共有点は、$y = -x^2$ と $x + ay = 2$ を連立させて得られる $x$ の方程式の実数解に対応します。したがって、この連立方程式が実数解を持たないような $a$ の範囲を求めれば良いです。

$x + ay = 2$ より、$y = \frac{2-x}{a}$ （$a \neq 0$）

これを $y = -x^2$ に代入すると、

$\frac{2-x}{a} = -x^2$

$a \neq 0$ より、両辺に $a$ を掛けて、

$2 - x = -ax^2$

$ax^2 - x + 2 = 0$

この2次方程式が実数解を持たない条件を考えます。

$a = 0$ のとき、$-x + 2 = 0$ より $x=2$ となり、実数解を持ちます。したがって、$a \neq 0$ の場合のみを考えます。

2次方程式 $ax^2 - x + 2 = 0$ が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。

$D = (-1)^2 - 4(a)(2) = 1 - 8a < 0$

$1 < 8a$

$a > \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$a > \frac{1}{8}$