与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

同次連立一次方程式が非自明解を持つための条件は、係数行列の階数(rank)が行列のサイズよりも小さいことです。言い換えると、変数の数よりもrankが小さいということです。 各方程式について、係数行列のrankを計算します。

(1)

$\begin{cases}

2x_1 + 3x_2 = 0 \\

4x_2 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ となり、rankは2です。変数の数は2なので、自明解のみを持ちます。

(2)

$\begin{cases}

2x_1 - 3x_2 = 0 \\

4x_1 - 6x_2 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$ となり、rankは1です。変数の数は2なので、非自明解を持ちます。

(3)

$\begin{cases}

2x_1 - 4x_2 + 4x_3 = 0 \\

3x_1 + 6x_2 - 7x_3 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 3 & 6 & -7 \end{pmatrix}$ となり、rankは2です。変数の数は3なので、非自明解を持ちます。

(4)

$\begin{cases}

x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\

4x_2 + 5x_3 = 0 \\

6x_3 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ となり、rankは3です。変数の数は3なので、自明解のみを持ちます。

(5)

$\begin{cases}

x_1 - x_3 = 0 \\

-2x_2 + 4x_3 = 0 \\

-x_1 + x_2 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ となり、rankは2です。変数の数は3なので、非自明解を持ちます。

(6)

$\begin{cases}

x_1 + 3x_2 = 0 \\

x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\

-x_1 + x_2 - 4x_3 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \end{pmatrix}$ となり、rankは3です。変数の数は3なので、自明解のみを持ちます。

(7)

$\begin{cases}

x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\

x_1 + x_3 + x_4 = 0 \\

x_1 + x_2 + x_4 = 0 \\

x_1 + x_2 + x_3 = 0

\end{cases}$

係数行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ となり、rankは4です。変数の数は4なので、自明解のみを持ちます。

3. 最終的な答え

非自明解を持つのは、(2),(3),(5)です。