長さ1.5m、断面積30mm²の鋼線に、引張荷重1500Nを加えたときの伸びの長さと引張応力を求めよ。ただし、鋼材のヤング率Eは206GPaとする。

1. 問題の内容

長さ1.5m、断面積30mm²の鋼線に、引張荷重1500Nを加えたときの伸びの長さと引張応力を求めよ。ただし、鋼材のヤング率Eは206GPaとする。

2. 解き方の手順

まず、単位を揃える。

断面積をmm²からm²に変換する。

$30 mm^2 = 30 \times 10^{-6} m^2$

ヤング率をGPaからPaに変換する。

$206 GPa = 206 \times 10^9 Pa$

次に、引張応力を求める。引張応力$\sigma$は、荷重Fを断面積Aで割ったものとして計算される。

$\sigma = \frac{F}{A}$

$F = 1500 N$

$A = 30 \times 10^{-6} m^2$

$\sigma = \frac{1500}{30 \times 10^{-6}} = 50 \times 10^6 Pa = 50 MPa$

次に、伸びの長さを求める。

ヤング率の定義式は、

$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$

ここで、$\epsilon$はひずみで、$\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$と定義される。$\Delta L$は伸び、Lは元の長さ。

したがって、

$E = \frac{\sigma}{\frac{\Delta L}{L}}$

$\Delta L = \frac{\sigma L}{E}$

$\sigma = 50 \times 10^6 Pa$

$L = 1.5 m$

$E = 206 \times 10^9 Pa$

$\Delta L = \frac{50 \times 10^6 \times 1.5}{206 \times 10^9} = \frac{75 \times 10^6}{206 \times 10^9} = \frac{75}{206} \times 10^{-3} = 0.364 \times 10^{-3} m = 0.364 mm$

3. 最終的な答え

伸びの長さ：0.364mm

引張応力：50MPa