整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 9$ が $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $-5$ 余る時、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 9$ が $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $-5$ 余る時、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(-3) = 0$ および $P(2) = -5$ が成り立ちます。

$P(x)$ に $x=-3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 9 = -27 + 9a - 3b - 9 = 9a - 3b - 36 = 0$

したがって、

$9a - 3b = 36$

$3a - b = 12$ ...(1)

$P(x)$ に $x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 9 = 8 + 4a + 2b - 9 = 4a + 2b - 1 = -5$

したがって、

$4a + 2b = -4$

$2a + b = -2$ ...(2)

(1) + (2) より、

$3a - b + 2a + b = 12 - 2$

$5a = 10$

$a = 2$

(2) に $a=2$ を代入すると、

$2(2) + b = -2$

$4 + b = -2$

$b = -6$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -6$