問題は、与えられた式 $(a+b+c)^2-(b+c-a)^2+(c+a-b)^2-(a+b-c)^2$ を展開して簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $(a+b+c)^2-(b+c-a)^2+(c+a-b)^2-(a+b-c)^2$ を展開して簡単にすることです。

2. 解き方の手順

まず、各項の二乗を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ca$

$(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

与えられた式にこれらの展開式を代入します。

$(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ca) + (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)$

括弧を外して整理します。

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - b^2 - c^2 - a^2 - 2bc + 2ab + 2ca + c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca$

同類項をまとめます。

$= (a^2 - a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2 + b^2 - b^2) + (c^2 - c^2 + c^2 - c^2) + (2ab + 2ab - 2ab - 2ab) + (2bc - 2bc - 2bc + 2bc) + (2ca + 2ca + 2ca + 2ca)$

$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 8ca$

$= 8ca$

3. 最終的な答え

$8ca$