多項式 $3x^3 + px^2 + qx - 6$ が $x^2 + x - 2$ で割り切れるとき、定数 $p$ と $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $3x^3 + px^2 + qx - 6$ が $x^2 + x - 2$ で割り切れるとき、定数 $p$ と $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + x - 2$ を因数分解すると $(x+2)(x-1)$ となる。

したがって、多項式 $3x^3 + px^2 + qx - 6$ は $(x+2)$ と $(x-1)$ で割り切れる。

剰余の定理より、

$x = 1$ を代入すると、 $3(1)^3 + p(1)^2 + q(1) - 6 = 0$、つまり $3 + p + q - 6 = 0$。よって $p + q = 3$。

$x = -2$ を代入すると、 $3(-2)^3 + p(-2)^2 + q(-2) - 6 = 0$、つまり $-24 + 4p - 2q - 6 = 0$。よって $4p - 2q = 30$。両辺を2で割って、$2p - q = 15$。

連立方程式

$p + q = 3$

$2p - q = 15$

を解く。

2つの式を足し合わせると、 $3p = 18$ となるので、$p = 6$。

$p + q = 3$ に $p = 6$ を代入すると、$6 + q = 3$ より $q = -3$。

3. 最終的な答え

$p = 6$, $q = -3$