$\sum_{k=1}^{n} (\sum_{i=1}^{k} i)$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (\sum_{i=1}^{k} i)$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、内側の $\sum$ を計算します。

$\sum_{i=1}^{k} i$ は、初項1、末項k、項数kの等差数列の和なので、公式より、

$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$

次に、外側の $\sum$ に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (\sum_{i=1}^{k} i) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k) = \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}) = \frac{1}{12}n(n+1)(2n+1+3) = \frac{1}{12}n(n+1)(2n+4) = \frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$