多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 - 3x + 2$ で割った余りが $3x + 4$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 - 3x + 2$ で割った余りが $3x + 4$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 - 3x + 2$ は $(x-1)(x-2)$ と因数分解できるので、$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りが $3x + 4$ ということは、$P(1) = 3(1) + 4$ と $P(2) = 3(2) + 4$ が成り立つことを意味します。

まず、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = (1)^3 + a(1)^2 + 2(1) + b = 1 + a + 2 + b = a + b + 3$

$P(1) = 3(1) + 4 = 7$ なので、

$a + b + 3 = 7$

$a + b = 4$ ...(1)

次に、$P(2)$ を計算します。

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + 2(2) + b = 8 + 4a + 4 + b = 4a + b + 12$

$P(2) = 3(2) + 4 = 10$ なので、

$4a + b + 12 = 10$

$4a + b = -2$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(4a + b) - (a + b) = -2 - 4$

$3a = -6$

$a = -2$

(1) に $a = -2$ を代入すると、

$-2 + b = 4$

$b = 6$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 6$