$ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$ が任意の $x$ で成り立つとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$ が任意の $x$ で成り立つとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

与えられた式は、

$ax^2 + bx + 3 = (x^2 - 1) + c(x^2 + 4x + 4)$

$ax^2 + bx + 3 = x^2 - 1 + cx^2 + 4cx + 4c$

$ax^2 + bx + 3 = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x^2$、$x$、定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の3つの式が成り立ちます。

$a = 1 + c$

$b = 4c$

$3 = 4c - 1$

3番目の式から $c$ を求めます。

$3 = 4c - 1$

$4c = 4$

$c = 1$

$c = 1$ を2番目の式に代入して $b$ を求めます。

$b = 4c = 4(1) = 4$

$c = 1$ を1番目の式に代入して $a$ を求めます。

$a = 1 + c = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 4$, $c = 1$