与えられた二次方程式を、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解く問題です。全部で8つの二次方程式があります。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式を、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解く問題です。全部で8つの二次方程式があります。

2. 解き方の手順

各二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$a$, $b$, $c$ の値を特定し、解の公式に代入します。

(1) $x^2 + 5x + 1 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = 5$, $c = 1$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

(2) $x^2 + 3x - 5 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = 3$, $c = -5$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$

(3) $4x^2 + 5x - 2 = 0$ の場合:

$a = 4$, $b = 5$, $c = -2$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 32}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{8}$

(4) $x^2 - 3x - 6 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = -3$, $c = -6$

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

(5) $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の場合:

$a = 2$, $b = 4$, $c = 1$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$

(6) $2x^2 - 7x + 3 = 0$ の場合:

$a = 2$, $b = -7$, $c = 3$

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$

$x = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$, $x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(7) $x^2 - 6x + 3 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = -6$, $c = 3$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

(8) $x^2 - 2x - 5 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = -2$, $c = -5$

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

(2) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$

(3) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{8}$

(4) $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

(5) $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$

(6) $x = 3, \frac{1}{2}$

(7) $x = 3 \pm \sqrt{6}$

(8) $x = 1 \pm \sqrt{6}$