与えられた行列 $A$ がランク2となるような $k$ の値を求める問題です。 行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -7 \\ -7 & 4 & -15 \\ -3 & -3 & k \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ がランク2となるような $k$ の値を求める問題です。

行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -7 \\ -7 & 4 & -15 \\ -3 & -3 & k \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ のランクが2であるということは、行列式が0になるということです。

したがって、$\det(A) = 0$ となるような $k$ の値を求めます。

行列式を計算します。

$\det(A) = 1(4k - 45) - 4(-7k - 45) - 7(21 + 12)$

$= 4k - 45 + 28k + 180 - 7(33)$

$= 32k + 135 - 231$

$= 32k - 96$

$\det(A) = 0$ より、

$32k - 96 = 0$

$32k = 96$

$k = \frac{96}{32}$

$k = 3$

次に、$k=3$のとき、本当にランクが2になっているか確認します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -7 \\ -7 & 4 & -15 \\ -3 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

1行目を7倍して2行目に足し、1行目を3倍して3行目に足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -7 \\ 0 & 32 & -64 \\ 0 & 9 & -18 \end{bmatrix}$

2行目を8分の1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -7 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & 9 & -18 \end{bmatrix}$

3行目を2行目の-9/4倍するとゼロベクトルになるため、ランクは2です。

3. 最終的な答え

$k = 3$