与えられた方程式 $x^2 + 2xy + 2y^2 - 4y + 4 = 0$ を満たす実数 $x, y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 + 2xy + 2y^2 - 4y + 4 = 0$ を満たす実数 $x, y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、平方完成を目指します。

まず、$x$ について平方完成します。

$x^2 + 2xy + 2y^2 - 4y + 4 = 0$

$x^2 + 2yx + (y^2 - y^2) + 2y^2 - 4y + 4 = 0$

$(x^2 + 2yx + y^2) - y^2 + 2y^2 - 4y + 4 = 0$

$(x+y)^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$

次に、$y$ について平方完成します。

$(x+y)^2 + (y^2 - 4y + 4) = 0$

$(x+y)^2 + (y-2)^2 = 0$

実数の二乗は常に0以上であるため、$(x+y)^2 \geq 0$ かつ $(y-2)^2 \geq 0$ です。

これらの和が0になるのは、それぞれが0になるときのみです。

したがって、

$x + y = 0$ かつ $y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$ より $y = 2$ が得られます。

$x + y = 0$ に $y = 2$ を代入すると、$x + 2 = 0$ より $x = -2$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = -2$, $y = 2$