3つのベクトル $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ k \end{bmatrix}$ が、$\mathbb{R}^3$ の基底をなすための $k$ の条件を求める問題です。

1. 問題の内容

3つのベクトル $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ k \end{bmatrix}$ が、$\mathbb{R}^3$ の基底をなすための $k$ の条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

3つのベクトルが $\mathbb{R}^3$ の基底をなすためには、これらのベクトルが線形独立である必要があります。線形独立であるかどうかは、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式を計算することで判定できます。行列式が0でないとき、ベクトルは線形独立であり、基底をなします。行列式が0のとき、ベクトルは線形従属であり、基底をなしません。

行列 $A$ を以下のように定義します。

$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -3 & 6 & 0 \\ 0 & 5 & k \end{bmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$det(A) = 2 \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 5 & k \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & k \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}$

$det(A) = 2(6k - 0) + 2(-3k - 0) + 2(-15 - 0)$

$det(A) = 12k - 6k - 30$

$det(A) = 6k - 30$

ベクトルが線形独立であるためには $det(A) \neq 0$ でなければなりません。

$6k - 30 \neq 0$

$6k \neq 30$

$k \neq 5$

したがって、$k \neq 5$ のときに、3つのベクトルは $\mathbb{R}^3$ の基底をなします。

3. 最終的な答え

$k \neq 5$