$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$ を計算する。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$ を計算する。

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、和を分解する。

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = \sum_{k=1}^{n} 4k - \sum_{k=1}^{n} 5$

定数をシグマの外に出す。

$\sum_{k=1}^{n} 4k = 4\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5\sum_{k=1}^{n} 1 = 5n$

$\sum_{k=1}^{n} k$ を計算する。これは1からnまでの自然数の和であり、$\frac{n(n+1)}{2}$ で表される。

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = 4\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 5 = 4\frac{n(n+1)}{2} - 5n = 2n(n+1) - 5n = 2n^2 + 2n - 5n = 2n^2 - 3n$

3. 最終的な答え

$2n^2 - 3n$