式 $64x^6 - 1$ を因数分解する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

式 $64x^6 - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$64x^6$ と $1$ をそれぞれ平方の形で表します。

$64x^6 = (8x^3)^2$

$1 = 1^2$

すると、$64x^6 - 1$ は $a^2 - b^2$ の形になっていることがわかります。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用して因数分解します。

$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$

次に、$8x^3 + 1$ と $8x^3 - 1$ をそれぞれ因数分解します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$ と $8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3$ はそれぞれ、$a^3 + b^3$ と $a^3 - b^3$ の形をしていることがわかります。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

の公式を利用して因数分解します。

$8x^3 + 1 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

$8x^3 - 1 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、$64x^6 - 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$