与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解せよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、$A^2 - B^2$ の形の差の二乗として考えることができます。

まず、$64x^6$ と $1$ をそれぞれ二乗の形にします。

$64x^6 = (8x^3)^2$

$1 = 1^2$

したがって、$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2$ となります。

差の二乗の因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用すると、

$(8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$

次に、$8x^3 + 1$ と $8x^3 - 1$ をそれぞれ因数分解します。

これらは、和の三乗と差の三乗の形をしています。

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、$64x^6 - 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ となります。

通常、$A-B$の形の因数を先に書くため、順番を並べ替えると、

$64x^6 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$