問題は、内分点と外分点のベクトルの導出についてです。具体的にどのような設定で内分点と外分点を考えるか、またどのようなベクトルの導出を求められているかは、この画像からは読み取れません。しかし、内分点と外分点のベクトルの一般的な公式を導出することは可能です。ここでは、点A, Bの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$とし、線分ABを$m:n$に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$、外分する点Qの位置ベクトル$\vec{q}$を求める問題として解釈します。

1. 問題の内容

問題は、内分点と外分点のベクトルの導出についてです。具体的にどのような設定で内分点と外分点を考えるか、またどのようなベクトルの導出を求められているかは、この画像からは読み取れません。しかし、内分点と外分点のベクトルの一般的な公式を導出することは可能です。ここでは、点A, Bの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$とし、線分ABを$m:n$に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$、外分する点Qの位置ベクトル$\vec{q}$を求める問題として解釈します。

2. 解き方の手順

まず、内分点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。Pは線分ABを$m:n$に内分する点なので、

$\vec{AP} = \frac{m}{m+n}\vec{AB}$

と表せます。ここで、$\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a}$、$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$なので、

$\vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} = \vec{a} + \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} = \frac{(m+n)\vec{a} + m\vec{b} - m\vec{a}}{m+n}$

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$

次に、外分点Qの位置ベクトル$\vec{q}$を求めます。Qは線分ABを$m:n$に外分する点なので、

$\vec{AQ} = \frac{m}{m-n}\vec{AB}$

と表せます。ここで、$\vec{AQ} = \vec{q} - \vec{a}$、$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$なので、

$\vec{q} - \vec{a} = \frac{m}{m-n}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{q} = \vec{a} + \frac{m}{m-n}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{q} = \frac{(m-n)\vec{a} + m\vec{b} - m\vec{a}}{m-n}$

$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$

3. 最終的な答え

内分点Pの位置ベクトル:

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$

外分点Qの位置ベクトル:

$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$