一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos \angle AMD$ の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求める。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos \angle AMD$ の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求める。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AMD$において、$AM = DM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$である。また、$AD = 2$である。

余弦定理より、

$\cos \angle AMD = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2 \cdot AM \cdot DM} = \frac{3 + 3 - 4}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(2) 点Eは直線BCに関して点Dと対称なので、$BE = BD = 2$、$CE = CD = 2$となる。また、BCはDEを垂直に二等分する。

$\triangle BCE$は$BE = CE = 2, BC = 2$の正三角形である。

したがって、$E$は$\triangle ABC$と$\triangle DBC$が重なるような位置にある。

点AからBCに垂線を下ろした足をMとする。点EからBCに垂線を下ろした足をM'とする。点DからBCに垂線を下ろした足をMとする。

$AM = \sqrt{3}, EM = \sqrt{3}$であり、$AE = AD$となる。

$AE = \sqrt{AM^2 + ME^2} = AD$ である。

$AE = \sqrt{AM^2 + EM^2}$

$AM = EM = \sqrt{3}$

$AME = \sqrt{3} * \sqrt{3} =3$

$\triangle ABC$と$\triangle EBC$は合同な正三角形なので、A, E, Dは同一平面上にない。

$\triangle ABD$と$\triangle ABE$が合同なので$AE=AD = 2$

(3) $N$は$BD$の中点なので、$BN = ND = 1$となる。また、$EN = ND = 1$である。

$\triangle ABD$において、$N$は$BD$の中点なので、$AN = \sqrt{AB^2+AD^2)/2 - BD^2/4} = \sqrt{(4+4)/2 - 4/4} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$.

同様に、$AE = 2$である。

$\cos \angle ANE = \frac{AN^2 + EN^2 - AE^2}{2 \cdot AN \cdot EN} = \frac{3+1-4}{2\sqrt{3}} = 0$

よって$\angle ANE = 90^{\circ}$なので、$\triangle AEN$は直角三角形である。

$\triangle AEN = \frac{1}{2} AN \cdot EN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AEN$を底面とする時、垂線BHの長さを求める。

$BH$は平面$AEN$に垂直である。$BH$の長さを$h$とする。

四面体$ABEN$の体積は $\frac{1}{3} \cdot \triangle AEN \cdot BH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$

四面体$ABCD$の体積は$\frac{1}{3} \cdot S \cdot h= \frac{1}{3} \sqrt{3}h = \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$ となり $h=\sqrt{6}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h=\frac{2\sqrt{2}}{12} \cdot =\frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{\sqrt{3}}{6}h=\frac{2\sqrt{2}}{12}$

$h=\frac{6}{12}\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2$

(3) $\triangle AEN = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $BH = \frac{\sqrt{6}}{3}$