与えられた3つの式を計算します。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を計算します。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。まず、$1+\sqrt{2}$ をひとまとめにして考えます。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

分母分子に $(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}{((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

さらに分母分子に $\sqrt{2}$ をかけて有理化します。

$\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) 分母の有理化を行います。まず、$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ をひとまとめにして考えます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2}}$

分母分子に $(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})^2}{((\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2})((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2+2\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})+2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-2}=\frac{5+2\sqrt{15}+3+2\sqrt{10}+2\sqrt{6}+2}{5+2\sqrt{15}+3-2}=\frac{10+2\sqrt{15}+2\sqrt{10}+2\sqrt{6}}{6+2\sqrt{15}}=\frac{5+\sqrt{15}+\sqrt{10}+\sqrt{6}}{3+\sqrt{15}}$

さらに分母分子に $3-\sqrt{15}$ をかけて有理化します。

$\frac{(5+\sqrt{15}+\sqrt{10}+\sqrt{6})(3-\sqrt{15})}{(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})}=\frac{15-5\sqrt{15}+3\sqrt{15}-15+3\sqrt{10}-\sqrt{150}+3\sqrt{6}-\sqrt{90}}{9-15}=\frac{-2\sqrt{15}+3\sqrt{10}-5\sqrt{6}+3\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{-6}=\frac{-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}}{-6}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3) それぞれの分数の分母を有理化します。まず、$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ をひとまとめにして考えます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{7}}$

分母分子に $(\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7})^2}{((\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{7})((\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7})}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{5})+7}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-7}=\frac{2+2\sqrt{10}+5+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}+7}{2+2\sqrt{10}+5-7}=\frac{14+2\sqrt{10}+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}}=\frac{7+\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

さらに分母分子に $\sqrt{10}$ をかけて有理化します。

$\frac{(7+\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{35})\sqrt{10}}{10}=\frac{7\sqrt{10}+10+\sqrt{140}+\sqrt{350}}{10}=\frac{7\sqrt{10}+10+2\sqrt{35}+5\sqrt{14}}{10}$

次に$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{7}}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})-\sqrt{7}}$

分母分子に $(\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{((\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{7})^2}{((\sqrt{2}-\sqrt{5})-\sqrt{7})((\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{7})}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}(\sqrt{2}-\sqrt{5})+7}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-7}=\frac{2-2\sqrt{10}+5+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}+7}{2-2\sqrt{10}+5-7}=\frac{14-2\sqrt{10}+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}}=\frac{7-\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{35}}{-\sqrt{10}}$

さらに分母分子に $\sqrt{10}$ をかけて有理化します。

$\frac{(7-\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{35})\sqrt{10}}{-10}=\frac{7\sqrt{10}-10+\sqrt{140}-\sqrt{350}}{-10}=\frac{7\sqrt{10}-10+2\sqrt{35}-5\sqrt{14}}{-10}$

与式は、

$\frac{7\sqrt{10}+10+2\sqrt{35}+5\sqrt{14}}{10}+\frac{7\sqrt{10}-10+2\sqrt{35}-5\sqrt{14}}{-10}=\frac{7\sqrt{10}+10+2\sqrt{35}+5\sqrt{14}-7\sqrt{10}+10-2\sqrt{35}+5\sqrt{14}}{10}=\frac{20+10\sqrt{14}}{10}=2+\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3) $2+\sqrt{14}$