座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ がある。円Kの中心をCとし、点A(-1, 0)を通り、傾きが $a$ (aは正の定数)の直線を $l$ とする。 (1) 点Cの座標と円Kの半径を求める。 (2) 直線 $l$ の方程式を $a, x, y$ を用いて表し、直線 $l$ と円Kが接するときの $a$ の値を求める。 (3) $a$ は(2)で求めた値とする。点Cを通り、直線 $l$ に垂直な直線とy軸の交点をBとする。点Bの座標を求め、円K上を点Pが動くとき、三角形ABPの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ がある。円Kの中心をCとし、点A(-1, 0)を通り、傾きが $a$ (aは正の定数)の直線を $l$ とする。

(1) 点Cの座標と円Kの半径を求める。

(2) 直線 $l$ の方程式を $a, x, y$ を用いて表し、直線 $l$ と円Kが接するときの $a$ の値を求める。

(3) $a$ は(2)で求めた値とする。点Cを通り、直線 $l$ に垂直な直線とy軸の交点をBとする。点Bの座標を求め、円K上を点Pが動くとき、三角形ABPの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの方程式 $x^2 + y^2 - 8x = 0$ を変形する。

$x^2 - 8x + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 4^2$

よって、円Kの中心Cの座標は(4, 0)で、半径は4である。

(2) 点A(-1, 0)を通り、傾きが $a$ の直線 $l$ の方程式は、

$y = a(x + 1)$

$y = ax + a$

$ax - y + a = 0$

直線 $l$ と円Kが接するとき、点C(4, 0)と直線 $l$ の距離が円の半径4に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|a(4) - 0 + a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|5a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 4$

両辺を2乗して

$\frac{25a^2}{a^2 + 1} = 16$

$25a^2 = 16a^2 + 16$

$9a^2 = 16$

$a^2 = \frac{16}{9}$

$a = \pm \frac{4}{3}$

$a$ は正の定数より、$a = \frac{4}{3}$

(3) $a = \frac{4}{3}$ より、直線 $l$ の方程式は $\frac{4}{3}x - y + \frac{4}{3} = 0$, つまり $4x - 3y + 4 = 0$

点C(4, 0)を通り、直線 $l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{3}{4}$ である。

よって、この直線の方程式は

$y = -\frac{3}{4}(x - 4)$

$y = -\frac{3}{4}x + 3$

点Bはこの直線とy軸の交点なので、x = 0を代入して、y = 3。

したがって、点Bの座標は(0, 3)である。

三角形ABPの面積が最大となるのは、Pが直線ABから最も遠い点であるとき。

ABの距離は $\sqrt{(0 - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{10}$

直線ABの方程式は、$\frac{y - 0}{x - (-1)} = \frac{3 - 0}{0 - (-1)}$, つまり $y = 3(x + 1)$, $3x - y + 3 = 0$

点C(4, 0)と直線ABの距離は $\frac{|3(4) - 0 + 3|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{15\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

円Kの中心から直線ABに平行な線を引き、円と交わる点をPとする。このとき、三角形ABPの高さは $\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4$ となる。

$\triangle ABP$ の面積 = $\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times (\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4) = \frac{1}{2} \times (15 + 4\sqrt{10}) = \frac{15 + 4\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点Cの座標: (4, 0), 円Kの半径: 4

(2) 直線 $l$ の方程式: $ax - y + a = 0$, $a = \frac{4}{3}$

(3) 点Bの座標: (0, 3), $\triangle ABP$ の面積の最大値: $\frac{15 + 4\sqrt{10}}{2}$