$\sin(2\cos^{-1}(\frac{1}{5}))$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sin(2\cos^{-1}(\frac{1}{5}))$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{5})$ と置きます。

このとき、$\cos(\theta) = \frac{1}{5}$ です。

次に、$\sin(2\theta)$ を求めます。

$\sin(2\theta)$ の公式は、$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ です。

$\cos(\theta) = \frac{1}{5}$ は分かっているので、$\sin(\theta)$ を求める必要があります。

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ の公式を使うと、$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$ となります。

したがって、$\sin^2(\theta) = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ となります。

$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{5})$ であることから、$\theta$ は第1象限または第2象限の角です。

この範囲では $\sin(\theta)$ は非負なので、$\sin(\theta) = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ となります。

したがって、$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{6}}{25}$