与えられた三角関数の問題です。まず、$y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ の周期を求め、区間 $0 \le x \le \pi$ でのグラフの共有点の個数を求めます。次に、$y = 2\sin 2x + \frac{\sqrt{3} \sin 3x}{\sin x}$ を変形し、最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題です。まず、$y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ の周期を求め、区間 $0 \le x \le \pi$ でのグラフの共有点の個数を求めます。次に、$y = 2\sin 2x + \frac{\sqrt{3} \sin 3x}{\sin x}$ を変形し、最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $y = \sin x$ の周期は $2\pi$ なので、ア = 2 。

* $y = \sin 3x$ の周期は $\frac{2\pi}{3}$ なので、イ = 2, ウ = 3。

* $y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ の共有点を求めるために、$\sin x = \sin 3x$ を解きます。

$\sin x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

$4\sin^3 x - 2\sin x = 0$

$2\sin x(2\sin^2 x - 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x \le \pi$ より、

$\sin x = 0$ の解は $x = 0, \pi$

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の解は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ は $0 \le x \le \pi$ では解を持たない。

したがって、共有点は 4 個なので、エ = 4。

(2)

* $\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$ なので、オ = 2。

* $\sin 2x = 2\sin x \cos x$、$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を代入すると、

$\sin 3x = 2\sin x \cos^2 x + (2\cos^2 x - 1)\sin x = 4\cos^2 x \sin x - \sin x$

$\sin 3x = (4\cos^2 x - 1)\sin x$ なので、カ = 4。

* $\sin 3x = (4\cos^2 x - 1)\sin x = (4(1-\sin^2 x)-1)\sin x = (3-4\sin^2 x)\sin x$

よって、キ = 4、ク = -1。

* $y = 2\sin 2x + \sqrt{3}(4\cos^2 x - 1) = 4\sin x \cos x + \sqrt{3}(4\cos^2 x - 1)$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を代入すると

$y = 2\sin 2x + \sqrt{3}(4(\frac{1 + \cos 2x}{2}) - 1) = 2\sin 2x + \sqrt{3}(2\cos 2x + 1)$

$y = 2\sin 2x + 2\sqrt{3}\cos 2x + \sqrt{3} = 4(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) + \sqrt{3}$

$y = 4\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$ なので、ケ = 4、コ = 3、サ = 3。

* $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ なので $\frac{\pi}{3} < 2x + \frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$。

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin(2x+\frac{\pi}{3}) = 1$ となり、最大値をとる。

最大値は $4 + \sqrt{3}$ なので、シ = 4、ス = 3。

$2x+\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき $\sin(2x+\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので最小値をとる。

最小値は $-2\sqrt{3}+\sqrt{3} = -\sqrt{3}$ なので、セ = -1、ソ = 3。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = 3

エ = 4

オ = 2

カ = 4

キ = 4

ク = -1

ケ = 4

コ = 3

サ = 3

シ = 4

ス = 3

セ = -1

ソ = 3