$\sin^{-1}x = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}x = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^{-1}x = \theta$ とおきます。このとき、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であり、$x = \sin\theta$ となります。

ここで、$\tan\theta$ を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であることを利用します。$\cos\theta$ は、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$ で求められます。$\theta$ の範囲を考慮すると $\cos\theta$ は正の値を取ります。

$\sin\theta = x$ より、$\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$ となります。

したがって、$\tan\theta = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ となります。

$\theta = \sin^{-1}x$ でしたので、$\sin^{-1}x = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}x = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$