与えられた関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、 (1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとるときの $x$ の値を求める。 (2) 定数 $k$ に対し、3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解を持つとき、$k$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、

(1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとるときの $x$ の値を求める。

(2) 定数 $k$ に対し、3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解を持つとき、$k$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

$f'(x) = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x - 1)(x - 5)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1, 5$ のときである。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$。

$1 < x < 5$ のとき、$f'(x) < 0$。

$x > 5$ のとき、$f'(x) > 0$。

したがって、$x = 1$ で極大値をとり、$x = 5$ で極小値をとる。

$f(1) = 1 - 9 + 15 + 7 = 14$

$f(5) = 125 - 225 + 75 + 7 = -18$

よって、$x = 1$ で極大値14、$x = 5$ で極小値-18をとる。

(2)

$f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解を持つためには、

$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが3つの異なる正の $x$ 座標で交わる必要がある。

$f(0) = 7$ であり、$x = 1$ で極大値 $f(1) = 14$ をとり、$x = 5$ で極小値 $f(5) = -18$ をとる。

したがって、$k$ の値は $f(5) < k < f(0)$の範囲でなくてはならない。

$f(x)$は$x \to \infty$で$+\infty$、$x \to -\infty$で$-\infty$となるため、$f(0) > f(5)$が成り立つ。

よって、求める $k$ の範囲は $-18 < k < 7$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$ で極大値14, $x = 5$ で極小値-18

(2) $-18 < k < 7$