問題は数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ (ただし $a > 0$) について、どのような性質を持つか（例えば、収束するかどうか、極限値は何か）を考察するものと考えられます。問題文が完全ではありませんが、ここではこの数列の極限値を求めることを目標とします。

1. 問題の内容

問題は数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ (ただし $a > 0$) について、どのような性質を持つか（例えば、収束するかどうか、極限値は何か）を考察するものと考えられます。問題文が完全ではありませんが、ここではこの数列の極限値を求めることを目標とします。

2. 解き方の手順

数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ の極限値を求めるには、いくつかのアプローチが考えられます。

* 比の判定法：隣接する項の比の絶対値をとり、その極限を調べます。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a^{n+1}/(n+1)!}{a^n/n!} \right|$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1}}{a^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n+1} = 0$

$a > 0$ であるため、極限は0となります。比の判定法により、数列は0に収束します。

* 指数関数との比較: $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ が成立することを用いると、$x=a$ の場合、$e^a = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}$ となります。これは収束する無限級数なので、その項である$\frac{a^n}{n!}$ は、$n \to \infty$ のとき、$0$ に収束する必要があります。

3. 最終的な答え

数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ (ただし $a > 0$) の極限値は 0 です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$