$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ が、 $0 \le x \le 1$ のとき $\cos^{-1}x$ に等しく、 $-1 \le x \le 0$ のとき $\pi - \cos^{-1}x$ に等しいことを証明せよ。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ が、

$0 \le x \le 1$ のとき $\cos^{-1}x$ に等しく、

$-1 \le x \le 0$ のとき $\pi - \cos^{-1}x$ に等しいことを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$0 \le x \le 1$ の場合を考える。

$\cos^{-1}x = \theta$ とおく。

このとき、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\cos \theta = x$ である。

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1-x^2}$ (∵ $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta \ge 0$)

よって、$\theta = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$

ゆえに、$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

次に、$-1 \le x \le 0$ の場合を考える。

$\cos^{-1}x = \theta$ とおく。

このとき、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ である。

$\cos \theta = x$ である。

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1-x^2}$ (∵ $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ より $\sin \theta \ge 0$)

よって、$\theta = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$

ゆえに、$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

ここで、$-1 \le x \le 0$ のとき、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ である。

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$\cos^{-1}x$をそのまま使うことはできない。

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \pi - \cos^{-1}x$ の場合を考える。

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \alpha$とおくと $-\pi/2 \le \alpha \le \pi/2$.

$\sin \alpha = \sqrt{1-x^2}$

$\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha$.

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-(1-x^2)} = |x|$.

$\pi - \alpha$ の範囲は $\pi/2 \le \pi-\alpha \le 3\pi/2$.

よって、

$\cos(\pi-\theta) = -x$.

$\pi - \theta = \cos^{-1}(-x)$.

$\sin \theta = \sqrt{1-x^2}$より$\theta = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$.

$\cos(\pi-\theta) = \cos \pi \cos \theta + \sin \pi \sin \theta = -\cos \theta$.

$-x = \cos (\pi - \cos^{-1} x)$

$\cos(\pi - \cos^{-1}x) = -x$

$\pi - \cos^{-1} x = \cos^{-1} (-x)$

ここで、$x < 0$ なので、$-x > 0$

よって $\pi/2 > \cos^{-1} (-x) > 0$.

したがって、$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \pi - \cos^{-1}x$

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \begin{cases} \cos^{-1}x & (0 \le x \le 1) \\ \pi - \cos^{-1}x & (-1 \le x \le 0) \end{cases}$ が証明された。