関数 $f(x) = \frac{1}{x^3}$ の $x=1$ における4次近似式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^3}$ の $x=1$ における4次近似式を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x=a$ における $n$ 次近似式は、以下のテイラー展開で表されます。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

今回は $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ であり、$a=1$、そして $n=4$ なので、まず $f(x)$ の各階微分を計算し、$x=1$ での値を求めます。

* $f(x) = x^{-3}$

$f(1) = 1$

* $f'(x) = -3x^{-4}$

$f'(1) = -3$

* $f''(x) = 12x^{-5}$

$f''(1) = 12$

* $f'''(x) = -60x^{-6}$

$f'''(1) = -60$

* $f^{(4)}(x) = 360x^{-7}$

$f^{(4)}(1) = 360$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) \approx 1 - 3(x-1) + \frac{12}{2}(x-1)^2 + \frac{-60}{6}(x-1)^3 + \frac{360}{24}(x-1)^4$

$f(x) \approx 1 - 3(x-1) + 6(x-1)^2 - 10(x-1)^3 + 15(x-1)^4$

3. 最終的な答え

$f(x) \approx 1 - 3(x-1) + 6(x-1)^2 - 10(x-1)^3 + 15(x-1)^4$