集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられています。 $A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられています。

$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 4\}$ であることから、3と4は集合Aと集合Bの両方に含まれていなければなりません。

集合Aには3が含まれているため、集合Bに3が含まれる場合を考えます。

$2a+1 = 3$ または $-a+7 = 3$ の可能性があります。

(i) $2a+1 = 3$ の場合:

$2a = 2$ より、$a = 1$ となります。

このとき、$A = \{1, 3, 6, -1^2 + 5(1)\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(1)+1, -1+7\} = \{2, 4, 8, 3, 6\}$

$A \cap B = \{3, 4, 6\}$ となり、$A \cap B = \{3, 4\}$ を満たしません。

(ii) $-a+7 = 3$ の場合:

$-a = -4$ より、$a = 4$ となります。

このとき、$A = \{1, 3, 6, -4^2 + 5(4)\} = \{1, 3, 6, -16 + 20\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(4)+1, -4+7\} = \{2, 4, 8, 9, 3\}$

$A \cap B = \{3, 4\}$ となり、条件を満たします。

したがって、$a = 4$ のとき、$A = \{1, 3, 6, 4\}$ と $B = \{2, 4, 8, 9, 3\}$ となり、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ となります。

$A \cup B$ の要素の個数は7個です。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A \cup B$ の要素の個数は7個