全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 200, x は整数\}$、集合 $A = \{x | x は 3 の倍数\}$、集合 $B = \{x | x は 5 の倍数\}$、集合 $C = \{x | x は 7 の倍数\}$が与えられたとき、以下の値を求める。 (1) $n(\overline{A} \cap B)$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(A \cup B \cup C)$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 200, x は整数\}$、集合 $A = \{x | x は 3 の倍数\}$、集合 $B = \{x | x は 5 の倍数\}$、集合 $C = \{x | x は 7 の倍数\}$が与えられたとき、以下の値を求める。

(1) $n(\overline{A} \cap B)$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(A \cup B \cup C)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A} \cap B)$ を求める。

$\overline{A} \cap B$ は、$A$ に属さず、$B$ に属する要素の集合である。つまり、$3$ の倍数ではなく、$5$ の倍数である要素の個数を求める。

まず、$B$ の要素の個数 $n(B)$ を求める。

$n(B) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

次に、$A \cap B$ の要素の個数を求める。$A \cap B$ は $3$ の倍数かつ $5$ の倍数である要素の集合なので、$15$ の倍数の集合である。

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

したがって、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 40 - 13 = 27$

(2) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。

$\overline{A \cup B}$ は、$A$ にも $B$ にも属さない要素の集合である。

$n(A) = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66$

$n(B) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 66 + 40 - 13 = 93$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 200 - 93 = 107$

(3) $n(A \cup B \cup C)$ を求める。

$n(A) = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66$

$n(B) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

$n(C) = \lfloor \frac{200}{7} \rfloor = 28$

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

$n(B \cap C) = \lfloor \frac{200}{35} \rfloor = 5$

$n(A \cap C) = \lfloor \frac{200}{21} \rfloor = 9$

$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{200}{105} \rfloor = 1$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$= 66 + 40 + 28 - 13 - 5 - 9 + 1 = 108$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap B) = 27$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 107$

(3) $n(A \cup B \cup C) = 108$