与えられた画像には、電子物理数学の4つの問題があります。 1. ベクトルAとBに関する問題。AをB方向とそれに垂直な方向に分解したベクトル、AとBに垂直な単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

与えられた画像には、電子物理数学の4つの問題があります。

1. ベクトルAとBに関する問題。AをB方向とそれに垂直な方向に分解したベクトル、AとBに垂直な単位ベクトルを求める。

2. 四面体の体積を求める問題。

3. 質量mの物体の位置ベクトルが与えられたときの、速度、加速度、運動エネルギーなどを求める問題。

4. 電場Eと磁束密度Bの空間中を移動する荷電粒子の運動方程式に関する問題。

以下では、問題3のみを解きます。

2. 解き方の手順

問題3は、質量 $m$ の物体の位置ベクトル $\vec{r}$ が次式で与えられたときに、以下の(1)～(4)を求める問題です。ただし、$r_0$, $v_0$, $\omega$ は定数、$t$ は時間とします。

$\vec{r} = (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t)$

(1) 物体の速度 $\vec{v}$ および加速度 $\vec{a}$ を求めます。

速度 $\vec{v}$ は位置ベクトル $\vec{r}$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$

加速度 $\vec{a}$ は速度 $\vec{v}$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\vec{r}$, $\vec{v}$ がなす角 $\theta$ を求めます。

$\vec{r}$ と $\vec{v}$ の内積は、

$\vec{r} \cdot \vec{v} = |\vec{r}| |\vec{v}| \cos \theta$

と表されます。したがって、$\cos \theta = \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{|\vec{r}| |\vec{v}|}$ となります。

$\vec{r} \cdot \vec{v} = (r_0 \cos \omega t)(-r_0 \omega \sin \omega t) + (r_0 \sin \omega t)(r_0 \omega \cos \omega t) + (v_0 t)(v_0) = v_0^2 t$

$|\vec{r}| = \sqrt{(r_0 \cos \omega t)^2 + (r_0 \sin \omega t)^2 + (v_0 t)^2} = \sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{(-r_0 \omega \sin \omega t)^2 + (r_0 \omega \cos \omega t)^2 + v_0^2} = \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}$

$\cos \theta = \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}$

$\theta = \arccos \left(\frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}\right)$

(3) 物体の運動エネルギー $K$ を求めます。

運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2$ で与えられます。

$K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子を図示せよ。

$\vec{r} = (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t)$ より、xy平面上では半径 $r_0$ の円運動、z軸方向には等速運動をします。したがって、この運動は螺旋運動となります。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{v} = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$, $\vec{a} = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\theta = \arccos \left(\frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}\right)$

(3) $K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 螺旋運動