ベクトル $\vec{A} = (10, 5, 2)$ と $\vec{B} = (3, 4, 0)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ 方向のベクトルを求めます。 (2) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ に垂直な方向のベクトルを求めます。 (3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = (10, 5, 2)$ と $\vec{B} = (3, 4, 0)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ 方向のベクトルを求めます。

(2) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ に垂直な方向のベクトルを求めます。

(3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{A}$ の $\vec{B}$ 方向への正射影ベクトル $\vec{A}_{\parallel}$ は、以下のように計算できます。

$\vec{A}_{\parallel} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \vec{B}$

まず、内積 $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を計算します。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (10)(3) + (5)(4) + (2)(0) = 30 + 20 + 0 = 50$

次に、$\vec{B}$ の大きさの2乗 $|\vec{B}|^2$ を計算します。

$|\vec{B}|^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 + 0 = 25$

したがって、$\vec{A}_{\parallel}$ は次のようになります。

$\vec{A}_{\parallel} = \frac{50}{25} \vec{B} = 2\vec{B} = 2(3, 4, 0) = (6, 8, 0)$

(2) $\vec{A}$ の $\vec{B}$ に垂直な方向のベクトル $\vec{A}_{\perp}$ は、以下のように計算できます。

$\vec{A}_{\perp} = \vec{A} - \vec{A}_{\parallel}$

$\vec{A}_{\perp} = (10, 5, 2) - (6, 8, 0) = (4, -3, 2)$

(3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直なベクトル $\vec{N}$ は、外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ で計算できます。

$\vec{N} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x)$

$\vec{N} = (5(0) - 2(4), 2(3) - 10(0), 10(4) - 5(3)) = (-8, 6, 25)$

$\vec{N}$ の大きさ $|\vec{N}|$ を計算します。

$|\vec{N}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 25^2} = \sqrt{64 + 36 + 625} = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直な単位ベクトル $\hat{N}$ は、以下のように計算できます。

$\hat{N} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{(-8, 6, 25)}{5\sqrt{29}} = \left(-\frac{8}{5\sqrt{29}}, \frac{6}{5\sqrt{29}}, \frac{25}{5\sqrt{29}}\right) = \left(-\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$

またはその逆向きのベクトル

$-\hat{N} = \left(\frac{8\sqrt{29}}{145}, -\frac{6\sqrt{29}}{145}, -\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{A}$ の $\vec{B}$ 方向への正射影ベクトル: $(6, 8, 0)$

(2) $\vec{A}$ の $\vec{B}$ に垂直な方向のベクトル: $(4, -3, 2)$

(3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直な単位ベクトル: $\left(-\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$ または $\left(\frac{8\sqrt{29}}{145}, -\frac{6\sqrt{29}}{145}, -\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$