ディオファントス方程式 $5x + 7y = 1$ の整数解を求める問題。 1. 整数解を1つ求める。 2. 全ての整数解を求める。 3. $xy$ 平面上に整数解をいくつか図示する。

## 問1

1. 問題の内容

ディオファントス方程式 $5x + 7y = 1$ の整数解を求める問題。

1. 整数解を1つ求める。

2. 全ての整数解を求める。

3. $xy$ 平面上に整数解をいくつか図示する。

2. 解き方の手順

1. まず、特殊解を1つ見つける。

$5x + 7y = 1$ の場合、$x = 3, y = -2$ が解の一つである。つまり、$5(3) + 7(-2) = 1$ 。

2. 次に、一般解を求める。

$5x + 7y = 1$ と $5(3) + 7(-2) = 1$ の差をとると、$5(x - 3) + 7(y + 2) = 0$ となる。

変形して $5(x - 3) = -7(y + 2)$ を得る。

5と7は互いに素なので、$x - 3$ は7の倍数、$y + 2$ は-5の倍数でなければならない。

したがって、$x - 3 = 7k$、$y + 2 = -5k$ （$k$ は整数）と書ける。

これを解くと、$x = 7k + 3$、$y = -5k - 2$ となる。

3. 最後に、$xy$ 平面上に整数解を図示する。

例えば、$k = -1, 0, 1$ のとき、$(x, y) = (-4, 3), (3, -2), (10, -7)$ が整数解となるので、これらを$xy$平面上にプロットする。

3. 最終的な答え

1. 整数解の一つ： $(x, y) = (3, -2)$

2. 全ての整数解： $(x, y) = (7k + 3, -5k - 2)$ ($k$ は整数)

3. 整数解の例： $(-4, 3)$, $(3, -2)$, $(10, -7)$

## 問2

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の連分数展開を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{5}$ の連分数展開を求める。

$\sqrt{5}$ は整数部分が2なので、

$\sqrt{5} = 2 + (\sqrt{5} - 2)$

$\sqrt{5} - 2 = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}-2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}} = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$

$\sqrt{5} + 2$ の整数部分は4なので、

$\sqrt{5} + 2 = 4 + (\sqrt{5} - 2)$

$\sqrt{5} - 2$ は先ほどと同じなので、繰り返される。

$\sqrt{5} = [2; \overline{4}]$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} = [2; \overline{4}]$

## 問3

1. 問題の内容

教科書の命題1.8は、$a, b, c$ を0でない整数とするとき、$a \mid bc$ かつ $\gcd(a, b) = 1$ ならば $a \mid c$ であることを述べている。ここで、$\gcd(a,b) = 1$ という条件ははずせないことを示す。

2. 解き方の手順

$\gcd(a, b) = 1$ の条件が成り立たない例を挙げる。

例えば、$a = 4, b = 2, c = 2$ とする。

このとき、$a \mid bc$ は $4 \mid (2 \times 2) = 4$ なので成り立つ。

しかし、$a \mid c$ は $4 \mid 2$ となり、これは成り立たない。

また、$\gcd(4, 2) = 2 \ne 1$ である。

別の例として、$a = 6, b = 3, c = 4$ とする。

このとき、$a \mid bc$ は $6 \mid (3 \times 4) = 12$ なので成り立つ。

しかし、$a \mid c$ は $6 \mid 4$ となり、これは成り立たない。

また、$\gcd(6, 3) = 3 \ne 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 4, b = 2, c = 2$ のとき、$a \mid bc$ は成り立つが、$a \mid c$ は成り立たない。$\gcd(a, b) = 2 \ne 1$ であり、$\gcd(a,b) = 1$ の条件が成り立たない例である。

## 問4

1. 問題の内容

$m$ を合成数とし、$1 \le k \le m - 1$ とする。このとき、二項係数 $\binom{m}{k}$ は $m$ で割り切れるかどうかを考察する。

2. 解き方の手順

$m$ が合成数であるとき、$m = ab$ ($1 < a, b < m$) と書ける。

$\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m-k)!} = \frac{m(m-1)!}{k!(m-k)!}$

$\binom{m}{k}$が$m$で割り切れない例として、$m = 4$, $k = 2$を考える。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

このとき、$6$ は $4$ で割り切れない。

$\binom{m}{k}$が$m$で割り切れる例として、$m = 6$, $k = 3$を考える。

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{36} = 20$

このとき、$20$ は $6$ で割り切れない。

$\binom{m}{k}$が$m$で割り切れる例として、$m = 4$, $k = 1$を考える。

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{24}{6} = 4$

このとき、$4$ は $4$ で割り切れる。

$m$が素数であれば、$\binom{m}{k}$ は $m$ で割り切れることが知られている。

しかし、$m$が合成数の場合、$k$の値によっては割り切れない場合がある。

3. 最終的な答え

二項係数 $\binom{m}{k}$ は、$m$ で常に割り切れるとは限らない。

## 問5

1. 問題の内容

2 の3乗根 $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを示す。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定する。

すると、$\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$ ($p, q$ は互いに素な整数, $q \ne 0$) と表せる。

両辺を3乗すると、$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{p}{q})^3$ となり、$2 = \frac{p^3}{q^3}$ を得る。

したがって、$2q^3 = p^3$ となる。

この式から、$p^3$ は偶数である。

$p^3$ が偶数ならば、$p$ も偶数である。

したがって、$p = 2k$ ($k$ は整数) と書ける。

これを $2q^3 = p^3$ に代入すると、$2q^3 = (2k)^3 = 8k^3$ となり、$q^3 = 4k^3$ を得る。

この式から、$q^3$ は偶数である。

$q^3$ が偶数ならば、$q$ も偶数である。

$p$ と $q$ がともに偶数であることは、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt[3]{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

2 の3乗根 $\sqrt[3]{2}$ は無理数である。