質量 $m$ の物体の位置ベクトル $\mathbf{r}$ が $\mathbf{r} = (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t)$ で与えられるとき、以下のものを求める問題です。ただし、$r_0$, $v_0$, $\omega$ は定数、$t$ は時間です。 (1) 物体の速度 $\mathbf{v}$ および加速度 $\mathbf{a}$ (2) $\mathbf{r}$ と $\mathbf{v}$ がなす角 $\theta$ (3) 物体の運動エネルギー (4) 運動の様子を図示する。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体の位置ベクトル $\mathbf{r}$ が $\mathbf{r} = (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t)$ で与えられるとき、以下のものを求める問題です。ただし、$r_0$, $v_0$, $\omega$ は定数、$t$ は時間です。

(1) 物体の速度 $\mathbf{v}$ および加速度 $\mathbf{a}$

(2) $\mathbf{r}$ と $\mathbf{v}$ がなす角 $\theta$

(3) 物体の運動エネルギー

(4) 運動の様子を図示する。

2. 解き方の手順

(1) 速度 $\mathbf{v}$ と加速度 $\mathbf{a}$ を求める。速度は位置ベクトル $\mathbf{r}$ を時間 $t$ で微分することで得られます。加速度は速度 $\mathbf{v}$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt} (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t) = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$

$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0) = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\mathbf{r}$ と $\mathbf{v}$ がなす角 $\theta$ を求める。内積の定義 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{r}| |\mathbf{v}| \cos \theta$ より、

$\cos \theta = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{r}| |\mathbf{v}|}$

$\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = (r_0 \cos \omega t)(-r_0 \omega \sin \omega t) + (r_0 \sin \omega t)(r_0 \omega \cos \omega t) + (v_0 t)(v_0) = v_0^2 t$

$|\mathbf{r}| = \sqrt{(r_0 \cos \omega t)^2 + (r_0 \sin \omega t)^2 + (v_0 t)^2} = \sqrt{r_0^2 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) + v_0^2 t^2} = \sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}$

$|\mathbf{v}| = \sqrt{(-r_0 \omega \sin \omega t)^2 + (r_0 \omega \cos \omega t)^2 + v_0^2} = \sqrt{r_0^2 \omega^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t) + v_0^2} = \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}\sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}$

$\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}\sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) 物体の運動エネルギー $K$ を求める。運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} m |\mathbf{v}|^2$ で与えられます。

$K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子を図示する。

$x = r_0 \cos \omega t$

$y = r_0 \sin \omega t$

$z = v_0 t$

$x^2 + y^2 = r_0^2 \cos^2 \omega t + r_0^2 \sin^2 \omega t = r_0^2$

$x^2 + y^2 = r_0^2$ は半径 $r_0$ の円を表します。$z = v_0 t$ は時間 $t$ に比例して $z$ 方向に進むことを表します。したがって、運動は螺旋運動となります。

3. 最終的な答え

(1) 速度 $\mathbf{v}$: $\mathbf{v} = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$

加速度 $\mathbf{a}$: $\mathbf{a} = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\mathbf{r}$ と $\mathbf{v}$ がなす角 $\theta$: $\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}\sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) 物体の運動エネルギー $K$: $K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子: 螺旋運動