2XXX年、火星に移住した人々の教育機関「慶應義塾Mars学院」で、火星の大きさや重力、密度などを測定する実習が行われた。以下の問いに答える。 (1) 学院のある地点A(北緯35°24'57.0")とその同一子午線上にある地点B(北緯35°25'09.5")間の直線距離を測定すると212mだった。火星は完全な球体とし、緯度経度の決め方や表し方は地球と同じとして、火星の子午線1周の距離を求めよ。 (2) (1)より、火星の半径Rを求めよ。 (3) この学院の校舎には大きな振り子があり、振り子支点からおもりまでの長さLは12.8m、振り子の周期Tは12.0秒だった。火星表面での重力加速度gを求めよ。 (4) (2)で求めた半径Rを用い、万有引力 = 重力として、火星の質量Mを求めよ。なお、火星質量は地球のほぼ1/10である。目安にするといいだろう。 (5) (2)で求めた半径Rを用いて、火星の体積Vを求めよ。 (6) (4) (5)より、火星の平均密度ρを求めよ。単位は[kg/m³]で、適切な有効桁がわかる表記にせよ。

1. 問題の内容

2XXX年、火星に移住した人々の教育機関「慶應義塾Mars学院」で、火星の大きさや重力、密度などを測定する実習が行われた。以下の問いに答える。

(1) 学院のある地点A(北緯35°24'57.0")とその同一子午線上にある地点B(北緯35°25'09.5")間の直線距離を測定すると212mだった。火星は完全な球体とし、緯度経度の決め方や表し方は地球と同じとして、火星の子午線1周の距離を求めよ。

(2) (1)より、火星の半径Rを求めよ。

(3) この学院の校舎には大きな振り子があり、振り子支点からおもりまでの長さLは12.8m、振り子の周期Tは12.0秒だった。火星表面での重力加速度gを求めよ。

(4) (2)で求めた半径Rを用い、万有引力 = 重力として、火星の質量Mを求めよ。なお、火星質量は地球のほぼ1/10である。目安にするといいだろう。

(5) (2)で求めた半径Rを用いて、火星の体積Vを求めよ。

(6) (4) (5)より、火星の平均密度ρを求めよ。単位は[kg/m³]で、適切な有効桁がわかる表記にせよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、地点AとBの緯度差を求める。

$35^\circ 25' 09.5'' - 35^\circ 24' 57.0'' = 12.5''$

この緯度差をラジアンに変換する。1度は3600秒なので、

$12.5'' = \frac{12.5}{3600}^\circ = \frac{12.5}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}$

地点AとBの間の直線距離212mは、この緯度差に対応する弧の長さである。

子午線1周の長さをLとすると、

$\frac{212}{L} = \frac{12.5}{3600} \times \frac{1}{180}$

$L = 212 \times \frac{3600 \times 180}{12.5}$

(2) 火星の半径Rは、子午線1周の長さLを用いて、$L = 2\pi R$で求められる。

$R = \frac{L}{2\pi}$

(3) 振り子の周期Tは、$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$で与えられる。

重力加速度gは、$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$で求められる。

(4) 万有引力と重力が等しいことから、$G\frac{Mm}{R^2} = mg$

火星の質量Mは、$M = \frac{gR^2}{G}$で求められる。ここでGは万有引力定数 $6.674 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2$ である。

(5) 火星の体積Vは、$V = \frac{4}{3}\pi R^3$で求められる。

(6) 火星の平均密度ρは、$\rho = \frac{M}{V}$で求められる。

3. 最終的な答え

(1) 火星の子午線1周の距離L:

$L = 212 \times \frac{3600 \times 180}{12.5} \approx 10977600 \text{ m} = 1.09776 \times 10^7 \text{ m}$

(2) 火星の半径R:

$R = \frac{1.09776 \times 10^7}{2\pi} \approx 1747000 \text{ m} = 1.747 \times 10^6 \text{ m}$

(3) 火星表面での重力加速度g:

$g = \frac{4\pi^2 (12.8)}{(12.0)^2} \approx 3.51 \text{ m/s}^2$

(4) 火星の質量M:

$M = \frac{(3.51)(1.747 \times 10^6)^2}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 1.60 \times 10^{23} \text{ kg}$

(5) 火星の体積V:

$V = \frac{4}{3}\pi (1.747 \times 10^6)^3 \approx 2.23 \times 10^{19} \text{ m}^3$

(6) 火星の平均密度ρ:

$\rho = \frac{1.60 \times 10^{23}}{2.23 \times 10^{19}} \approx 7175 \text{ kg/m}^3$