与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理します。これは対称式なので、因数分解の結果は $(a+b)(b+c)(c+a)$ の形になることが予想できます。

展開した式を $a$ について整理します。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + 3abc + bc^2 + b^2c + c^2a = (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + (b+c)a + 2ac] + (b^2 + bc + c^2)a$

$= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] + abc$

$=(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

別解：

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2 + abc$

$= ab(a+b+c) + bc(b+c+a) + ca(c+a+b)$

$= (a+b+c)(ab + bc + ca)$

ここで、$ab + bc + ca$ の形にするために、式を以下のように変形する。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + abc + bc^2 + b^2c + abc + c^2a -abc -abc - abc + 3abc$

$= a(ab + bc + ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab +bc+ca)$

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$

$=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+abc +2abc$

$=ab(a+b+c) - abc + bc(b+c+a) - abc + ca(c+a+b) - abc+ 3abc$

$=ab(a+b+c)+ bc(a+b+c) + ca(a+b+c)$

$=(a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc +3abc$

$=(a+b+c)(ab +bc + ca) -abc -abc-abc +3abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

別の考え方：

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + b^2 + c^2 + bc)$

$= (a+b)(b^2 + 2bc + c^2) = (a+b)(b+c)^2 = (a+b)(b+c)(b+c)$

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc+abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$