数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) $b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のすべての項を小さい順に並べてできる数列を $c_1, c_2, c_3, \dots$ とします。このとき、$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。

$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

$b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のすべての項を小さい順に並べてできる数列を $c_1, c_2, c_3, \dots$ とします。このとき、$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めます。

数列 $\{a_n\}$ について、$a_{n+1} = 2a_n - 1$ を変形すると $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ となります。

したがって、数列 $\{a_n - 1\}$ は初項 $a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$, 公比 2 の等比数列です。

よって、$a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となり、$a_n = 2^n + 1$ となります。

数列 $\{b_n\}$ について、$b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$ より、階差数列を考えます。

$b_{n+1} - b_n = 3 \cdot 2^{2n-1} = 3 \cdot 4^{n-1} \cdot 2 = 6 \cdot 4^{n-1}$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6 \cdot 4^{k-1} = 4 + 6 \sum_{k=0}^{n-2} 4^k = 4 + 6 \cdot \frac{4^{n-1} - 1}{4 - 1} = 4 + 2(4^{n-1} - 1) = 2 \cdot 4^{n-1} + 2 = 2(4^{n-1} + 1) = 2(2^{2(n-1)} + 1)$

したがって、$b_n = 2^{2n-1} + 2$ となります。

次に、$a_n$ と $b_n$ の大小関係を調べます。

$a_n = 2^n + 1$, $b_n = 2^{2n-1} + 2$

$a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 9$, $a_4 = 17$

$b_1 = 4$, $b_2 = 10$, $b_3 = 34$, $b_4 = 130$

数列 $\{c_k\}$ は、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の項を小さい順に並べたものです。

$a_n = 2^n + 1$ の最初の $n$ 項の和は $\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2^k + 1) = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} + n = 2^{n+1} - 2 + n$

$b_n = 2^{2n-1} + 2$ の最初の $n$ 項の和は $\sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (2^{2k-1} + 2) = \sum_{k=1}^n (2 \cdot 4^{k-1} + 2) = 2\sum_{k=0}^{n-1} 4^k + 2n = 2 \cdot \frac{4^n - 1}{4 - 1} + 2n = \frac{2(4^n - 1)}{3} + 2n$

$a_1=3$, $b_1=4$, $a_2=5$, $a_3=9$, $b_2=10$, $a_4=17$, $a_5=33$, $b_3=34$, $a_6=65$, $a_7=129$, $b_4=130$, ...

数列 $\{c_k\}$ は $3, 4, 5, 9, 10, 17, 33, 34, 65, 129, 130, \dots$ となります。

最初の $3n-1$ 項の和 $\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求める必要があります。

$a_n$ の最初の $n$ 項と $b_n$ の最初の $n-1$ 項を合わせた項数は $n + (n-1) = 2n - 1$ となります。

$a_n$ の最初の $n+1$ 項と $b_n$ の最初の $n-1$ 項を合わせた項数は $(n+1) + (n-1) = 2n$ となります。

$a_n$ の最初の $n$ 項と $b_n$ の最初の $n$ 項を合わせた項数は $n + n = 2n$ となります。

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の項を小さい順に並べた数列の最初の $3n-1$ 項の和を求めます。

$2^n$と$4^{n-1}$はほぼ同じ大きさで増えていくので、$3n-1 \approx 2n$と考えると$n \approx 1$なので$a_1=3$, $b_1=4$, $c_1=3, c_2=4$.

$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k = \sum_{k=1}^{3(1)-1} c_k = \sum_{k=1}^{2} c_k = 3 + 4 = 7$.

ここで、$a_1 + b_1 = 3 + 4 = 7$.

$a_1, a_2, \dots, a_n$ と $b_1, b_2, \dots, b_{2n-1}$ を合わせたとき、$3n-1$項となる. $2n-1 < n$ を満たさないといけないから、そもそも考え方が違う.

$a_n = 2^n+1$ が $3n-1$ に近い項を考える.

$b_n = 2^{2n-1}+2$ が $3n-1$ に近い項を考える.

$n=1$, $3n-1=2$, $a_1=3, b_1=4$, $3+4=7$

$n=2$, $3n-1=5$, $a_1=3, a_2=5, b_1=4, b_2=10$, $3,4,5,10$, $3+4+5=12$.

$n=3$, $3n-1=8$, $a_1=3, a_2=5, a_3=9$, $b_1=4, b_2=10, b_3=34$. $3,4,5,9,10,34$.

$S=3+4+5+9+10+17 = 2(2^{2n-2})/3$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k = 2^{3n} + 3n - 2$