二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と直線 $y = x + 1$ の交点を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と直線 $y = x + 1$ の交点を求めよ。

2. 解き方の手順

交点を求めるには、二つの式を連立させて解けばよい。つまり、$x$と$y$についての方程式

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y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5

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y = x + 1

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を同時に満たす $x$ と $y$ を求める。

まず、$y$ を消去するために、二つの式をイコールで結ぶ。

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-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5 = x + 1

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次に、この二次方程式を解くために、すべての項を左辺に移項して整理する。

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-\frac{1}{2}x^2 + 2x - x + 5 - 1 = 0

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-\frac{1}{2}x^2 + x + 4 = 0

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両辺に $-2$ を掛けて、係数を整数にする。

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x^2 - 2x - 8 = 0

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この二次方程式を因数分解する。

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(x - 4)(x + 2) = 0

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したがって、$x = 4$ または $x = -2$ である。

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めるために、$y = x + 1$ に代入する。

$x = 4$ のとき、$y = 4 + 1 = 5$

$x = -2$ のとき、$y = -2 + 1 = -1$

3. 最終的な答え

交点の座標は $(4, 5)$ と $(-2, -1)$ である。