複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、そのような $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には、以下の2つの方程式について考えます。 (1) $3|z+2| = |z-6|$ (2) $|z-4i| = 2|z-i|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、そのような $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。具体的には、以下の2つの方程式について考えます。

(1) $3|z+2| = |z-6|$

(2) $|z-4i| = 2|z-i|$

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ (x, y は実数) とおきます。

与えられた方程式に代入し、両辺を2乗します。

整理して、円の方程式の形に書き直します。

(2) $z = x + yi$ (x, y は実数) とおきます。

与えられた方程式に代入し、両辺を2乗します。

整理して、円の方程式の形に書き直します。

それでは、各問題を解いていきましょう。

(1) $3|z+2| = |z-6|$

$z = x+yi$とおくと、

$3|x+yi+2| = |x+yi-6|$

$3|(x+2)+yi| = |(x-6)+yi|$

$3\sqrt{(x+2)^2+y^2} = \sqrt{(x-6)^2+y^2}$

両辺を2乗して

$9((x+2)^2+y^2) = (x-6)^2+y^2$

$9(x^2+4x+4+y^2) = x^2-12x+36+y^2$

$9x^2+36x+36+9y^2 = x^2-12x+36+y^2$

$8x^2+48x+8y^2 = 0$

$x^2+6x+y^2 = 0$

$(x+3)^2 - 9 + y^2 = 0$

$(x+3)^2 + y^2 = 9$

これは、中心が $-3$、半径が $3$ の円を表します。

(2) $|z-4i| = 2|z-i|$

$z = x+yi$とおくと、

$|x+yi-4i| = 2|x+yi-i|$

$|x+(y-4)i| = 2|x+(y-1)i|$

$\sqrt{x^2+(y-4)^2} = 2\sqrt{x^2+(y-1)^2}$

両辺を2乗して

$x^2+(y-4)^2 = 4(x^2+(y-1)^2)$

$x^2+y^2-8y+16 = 4(x^2+y^2-2y+1)$

$x^2+y^2-8y+16 = 4x^2+4y^2-8y+4$

$0 = 3x^2+3y^2-12$

$0 = x^2+y^2-4$

$x^2+y^2 = 4$

これは、中心が $0$、半径が $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-3$、半径 $3$ の円

(2) 中心 $0$、半径 $2$ の円