$z = \cos \frac{2}{7}\pi + i\sin \frac{2}{7}\pi$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$ (2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

1. 問題の内容

$z = \cos \frac{2}{7}\pi + i\sin \frac{2}{7}\pi$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$

(2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

2. 解き方の手順

(1)

$z = \cos \frac{2}{7}\pi + i\sin \frac{2}{7}\pi = e^{i\frac{2}{7}\pi}$ より、ド・モアブルの定理から $z^7 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$。

したがって、$z^7 - 1 = 0$ となる。

$z^7 - 1 = (z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$

$z \ne 1$ なので、$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$。

よって、$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = -1$。

(2)

$\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z} = \frac{1-z + 1-z^6}{(1-z^6)(1-z)} = \frac{2 - z - z^6}{1 - z - z^6 + z^7}$

$z^7 = 1$ なので、

$\frac{2 - z - z^6}{1 - z - z^6 + z^7} = \frac{2 - z - z^6}{2 - z - z^6}$

ここで、 $z + z^6 = z + \frac{1}{z} = e^{i\frac{2}{7}\pi} + e^{-i\frac{2}{7}\pi} = 2\cos \frac{2}{7}\pi$ となる。

ただし、$z+z^6 \neq 2$ であるから $2 - z - z^6 \neq 0$ である。

したがって、$\frac{2 - z - z^6}{2 - z - z^6} = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $1$